Mathematica ile Karmaşık Dinamik Sistemlerin Çözümü, Stabilite Analizi ve Görselleştirilmesi

Kullanım Alanı

• Dinamik sistemler

• Diferansiyel denklemler

• Uygulamalı matematik

• Fizik, mühendislik, biyoloji modellemeleri

• Lisans + yüksek lisans düzeyi

1. Problemin Tanımı

Birçok matematik bölümü öğrencisi, karmaşık diferansiyel denklem sistemlerinin çözümünde:

• Kapalı form çözümler bulmakta

• Sayısal çözümleri doğrulamakta

• Faz uzayı analizleri yapmakta

• Stabilite noktalarını belirlemekte

• Modelin parametreye duyarlılığını test etmekte zorlanır.

Wolfram Mathematica bu alanlarda tek araçla tüm süreci kapsayan bir çözümdür.

2. Örnek Model: Lotka–Volterra Sisteminin Analizi

ODE sistemi:

Bu modele ait:

• sabit noktalar

• stabilite

• faz portreleri

• simülasyonlar

• parametrik duyarlılık tek notebook içinde yapılabilir.

3. Wolfram Mathematica Kullanımı

✔ Sabit Noktaların Hesabı

Solve[{α x - β x y == 0, δ x y - γ y == 0}, {x, y}]

✔ Faz Portresi

StreamPlot[{α x - β x y, δ x y - γ y}, {x, 0, 5}, {y, 0, 5}]

✔ Numerik Simülasyon

sol = NDSolve[

{x'[t] == α x[t] - β x[t] y[t],

y'[t] == δ x[t] y[t] - γ y[t],

x[0] == 1, y[0] == 1},

{x, y}, {t, 0, 20}

]

✔ Zaman Serisi Grafik

Plot[{x[t] /. sol, y[t] /. sol}, {t, 0, 20}]

✔ Parametre Duyarlılık Analizi (Manipulate ile)

Manipulate[

Plot[{x[t] /. sol, y[t] /. sol}, {t, 0, 30}],

{{α, 1}, 0.1, 3},

{{β, 0.1}, 0.01, 1},

{{γ, 1}, 0.1, 3},

{{δ, 0.1}, 0.01, 1}

]

4. Matematik Bölümleri İçin Fayda

• Öğrenciler dinamik sistemleri tek ekranda simüle ederek öğrenir

• Hızlı modelleme → araştırma projelerinde büyük zaman kazancı

• Parametrik analiz → yüksek lisans & doktora çalışmalarında güçlü altyapı

• Daha önce elle yapılamayacak karmaşıklıkta simülasyonlar